起诉抚养权的过程是：

1、准备与抚养权相关的证据，带好起诉状提交给人民法院；

2、法院决定是否受理，受理后及时通知双方当事人；

3、被告准备相应的材料以及答辩状；

4、法院安排进行开庭，经过法庭辩论等程序依法作出判决。

【法律依据】

根据《婚姻法》第三十六条，父母与子女间的关系，不因父母离婚而消除。离婚后，子女无论由父或母直接抚养，仍是父母双方的子女。离婚后，父母对于子女仍有抚养和教育的权利和义务。